唐舜，首都师范大学教授，2011年在法国巴黎第十一大学取得数学博士学位，随后在德国马克斯-普朗克数学研究所从事博士后研究工作，曾在有近200年历史的国际著名数学期刊《克雷尔杂志》和《伦敦数学会进展》独立发表学术论文，担任美国数学会《数学评论》和德国《数学文摘》评论员。

担任中国科协和教育部“英才计划”以及北京青少年科技俱乐部指导教师，曾指导中学生获得北京市青少年科技创新大赛二等奖。所讲授的《解析几何》课程B站播放量超过22万；撰写的“知乎”数学科普专栏阅读总量超过60万，订阅人数超过4200。

1.启迪数学智慧，构建学习新视角：本书从数学通识出发，为读者构建了全新的数学学习理念和方法，带你领略数学的无穷魅力，激发你的数学智慧。

2.揭秘高等数学，跨越知识分水岭：本书详细阐述了从有限到无穷的数学转变，解释了高等数学为何“高等”，为你揭示大学数学与中学数学的明确分水岭，让你对微积分有更深的理解。

3.领略微积分之美，掌握核心原理：本书深入探讨了微积分的华彩乐章，通过“局部—整体原则”解析了函数极限、连续性等核心概念，让你真正掌握微积分的基本原理。

4.实践应用，拓展数学视野：本书通过泰勒展开、傅里叶展开等实用方法，以及极值问题在多个领域的应用，展示了微积分的广泛实践价值，帮你拓展数学视野，提升解决问题的能力。

5.一本在手，微积分无忧：无论是数学爱好者还是专业学者，这本书都是你不可或缺的数学宝典。从理论到实践，从基础到深入，它都能满足你对数学的探索和需求。

无穷多个数相加应该怎么求？0.99999……为什么等于1？导数和微分有什么区别？微积分基本定理的本质是什么？数学到底是一种发现还是发明？

各位读者朋友，大家好！很高兴和大家相逢在《从零开始读懂微积分》这本书中。本书的基础是我为北京国家应用数学中心制作的应用数学与数据科学通识基础课程——《高等数学导览》的讲义。我曾经在“知乎”上写过一个专栏，名叫《奇葩数学史·中学篇》，写那个专栏的初衷是想为中学数学的教学内容补充一些课堂上大家可能没有机会了解的知识背景和专业延伸。专栏完结之后，我收到一些读者的来信，询问什么时候推出大学篇。我想，为北京国家应用数学中心制作的视频课程可以看作对这个问题的正面回答。

提起高等数学，这可能是大学里最令人头疼的一门课程，它有趣却又难解，深刻却又复杂，想敬而远之，它偏偏应用广泛、无处不在，不管是物理、计算机这样的理工类专业，还是经济、管理这样的社科类专业，都逃不开以高等数学作为进一步学习的基础。然而，高等数学似乎与我们之前学过的数学完全不同，学着学着就找不着北了；一开始大家都还兴致勃勃，向着理解宇宙最深刻奥义的梦想出发，到后来，大部分人都只能疲于奔命，考研上岸成了最后的愿望。

高等数学的主要内容是微积分，我们为广大数学爱好者准备了这样一本伴读手册，它既是微积分课堂教学的有益补充，也是一次轻松愉快的数学之旅。通过精讲一批重要的数学地标和风景，将课本中若干重要的概念、方法及其背景和延伸做一个梳理和总结。它既包含课堂上没有时间讲授的数学通识内容，又包含对一些复杂知识点的细致拆解，以及微积分在现实生活中的实际应用。希望通过对本书的研读，大家可以对微积分从理论到实践有一个初步的认识，提高大家学习后继专业课程的兴趣和能力。

坦白讲，编写这样一本伴读手册并非易事，在组织材料的时候，我们需要考虑三个逻辑：一是数学本身的逻辑；二是数学理论发展的逻辑；三是课程讲授的逻辑。课程讲授的逻辑决定了课程最终的呈现方式，它受课程的目的、目标听众、教师的个人偏好等因素影响。尽管情况比较复杂，但大多数数学课程往往是前两种逻辑的简单组合。

在高等数学课堂上，我们更多地接触到的是遵循第一种逻辑的教材，从数列极限讲到函数极限，从导数讲到微分，从不定积分讲到定积分，从一元函数微积分讲到多元函数微积分，从概念引入到性质推导，从定理证明到例题演算，循序渐进。为什么大家都这么做呢？因为它清晰准确、易于标准化，适合大范围应用和推广，在教育普及的过程中能够发挥巨大的作用。

随着时代的发展，这种处理方式也暴露出一些问题。我们经常听数学老师说：“我现在讲的是思路，你们写答案的时候要反过来写！”都听过吧？什么意思呢？从某种意义上说，数学知识本身的逻辑是一种“反思考”的逻辑，它与人们从“拆解问题”到“组装答案”的习惯性思考过程是不一致的，掌握起来势必要克服额外的阻力。从宏观角度来看，一本教材或一门课程其实也是如此。从定义1、2、3出发，之后是性质4、5、6，然后是定理7、8、9，最后是例题A、B、C、D、E、F、G，这种流水线式的讲授方式并不是从思考的逻辑出发的；尽管这种讲授方式很准确，却给学生消化和理解知识制造了障碍。

在这本书里，我希望遵循思考的逻辑，用30章的篇幅为大家梳理微积分理论中一系列重要概念和知识点，以及它们的背景和拓展应用，内容共分为以下四篇。

第一篇是数学通识，大家将从这里了解一些关于数学的基本观点和事实，如绝大部分人的数学天赋都不怎么样，人类发展出伟大的数学能力是因为想象力；数学是一种自洽的语言，在语言的抽象与还原之间需要求得一种恰到好处的平衡；数学的发展依赖经验，但数学不是经验科学，数学的本质是求真而非证伪；学好数学可以尝试把握三个要素：逻辑感、结构感知力、求知的本心。有了这些认识，大家就能对数学进行更加深入的思考。

第二篇是原理铺垫，我将回答以下两个基本的问题：高等数学何以称为高等？高等数学与中学数学相比，是否存在一个明确的分水岭？如果这个分水岭真的存在，了解它在哪里，可以避免大家在一开始就被完全不一样的思维方式“打趴下”。

第三篇是本书的核心，我将以“局部—整体”为主线讨论微积分理论的核心要义和基本框架，包括函数极限、连续性、无穷小及其比较、导数与微分、微积分基本定理、多元函数微积分等，大家将充分领略高等数学中最为华美的一篇乐章。

第四篇是微积分的实践之路，内容包括泰勒展开、傅里叶展开、最小作用量原理，以及极值问题在数学、工程学、人工智能等领域的应用。例子虽然不多，但力求简洁深刻，讲通讲透，希望研读这个板块之后，大家会对“高数”有一种完全不同的观感。

由于本书的基础是已有课程的讲义，尽管做了必要的整理和修订，部分内容与“知乎”专栏还是存在重合。为了课程的完整性，我将这些重合的内容保留在本书中，希望不会给已经看过专栏的小伙伴们带来困扰。最后，我还想强调，这是一本帮助大家修习高等数学的伴读手册，它不能代替正式的课堂教学，如果大家想在“高数”这门课上取得不错的成绩，看完本书之后记得回到课堂好好学习。

好了，亲爱的读者朋友，欢迎来到《从零开始读懂微积分》，祝愿大家在这里能够收获一份美好的体验。

目录

第1章天赋还是勤奋

1.1没什么特别的人类

1.2难以测量的直觉

第2章想象力是最大的武器

2.1哥贝克力石阵

2.2规天矩地

2.3数字崇拜

第3章数字背后的逻辑

3.1谁更有钱

3.2一一映射

3.3快速计算比赛场次

3.4汉字简化

3.5基数与序数

第4章区分抽象与还原

4.1抽象的数学处理

4.2生动的数学还原

4.3抽象与还原之争

第5章文明的进步

5.1古巴比伦数字

5.2古埃及数字

5.3古代中国的算筹

5.4印度人的贡献

5.5一场生物学制造的意外

第6章背离经验的科学

6.1相对论的拼图

6.2缺损棋盘问题

6.3失效的经验

第7章数学应该怎样学（I）

7.1逻辑感

7.2一道解三角形题的本质

7.3计算三角函数值的标准做法

7.4“三段式”论证

7.5你知道有几只病狗吗

第8章数学应该怎样学（II）

8.1结构感知力

8.2回归求知的本心

第9章史上最大的“逻辑漏洞”

9.1真相是什么

9.2阿基米德的证明

9.3数学走上神坛

第10章无穷的困境

10.1芝诺悖论

10.2阿基里斯与乌龟

10.3飞矢不动

10.4理性与感观

第11章第一次尝试

11.1伽利略的悖论

11.2抽象与演绎的冲突

11.3伽利略的选择

第12章无法回避的难题

12.1封闭的疆域

12.2几何能做的也有限

12.3数学界的思想解放

第13章探寻之路

13.1实数的模型

13.2混乱的状况

13.3柯西与极限

13.4柯西收敛准则

第14章实数轴的重生

14.1康托尔的实数模型

14.2 1.000等于0.999吗

14.3坚实的基础

第15章芝诺悖论的数学终结

15.1可数无穷集合

15.2不平凡的可数集

15.3实数集合不可数

15.4迟到的荣耀

第16章给长度一个交代

16.1长度的数学本质

16.2升级版长度

16.3勒贝格测度

第17章分析学的三条路径和一种范式

17.1从有限到无穷

17.2从局部到整体

17.3以简单代替复杂

第18章归结原则和两个重要极限

18.1第一个重要极限：

18.2从数列过渡到函数

18.3第二个重要极限：

18.4“收敛速度”可以求出来吗

18.5怎样跑赢通货膨胀

18.6第二个重要极限的证明

第19章连续性的陷阱

19.1狄利克雷函数

19.2无穷振荡曲线

19.3不可求长曲线

19.4魏尔斯特拉斯函数

第20章微分的前世今生

20.1切线与微分

20.2导数：差商的极限

20.3微分在今天的含义

20.4导数等于微商吗

第21章自然的数学法则

21.1函数[ex]的特性

21.2指数函数与等角螺线

21.3自然界中的等角螺线

21.4等角螺线与地图投影

第22章分割的艺术

22.1黎曼积分

22.2性质与实用的平衡

22.3黎曼积分的性质

22.4可积性判定准则

22.5勒贝格积分

第23章微分与积分的统一

23.1面积如何求导

23.2变限积分：连续函数的原函数

23.3牛顿-莱布尼兹公式

23.4增强版微积分基本定理

23.5微分中值定理与积分中值定理的统一

第24章多元函数的世界

24.1方向导数

24.2空间直线有斜率吗

24.3偏导数——方向导数衍生品

24.4从切线到切平面

24.5梯度

24.6积分也有方向

24.7斯托克斯公式

第25章泰勒展开

25.1微分法

25.2密切法

25.3插值法

25.4幂级数的春天

第26章傅里叶展开

26.1最小二乘法

26.2正交投影法

26.3三角级数的魅力

第27章最小作用量原理

27.1光的折射定律

27.2笛卡儿的解释

27.3费马最小时间原理

第28章最优逼近——泰勒展开的第四张面孔

28.1局部与整体的再一次拥抱

28.2最优逼近多项式

28.3逆矩阵的秘密

28.4最优逼近多项式的极限

第29章最佳近似——超定方程组的现实选择

29.1纯代数的方案

29.2利用费马定理求极值点的方案

29.3造福人类的CT技术

第30章最小损失——人工智能的决策法门

30.1直线拟合的损失函数

30.2梯度下降

30.3梯度下降法的变体